05-控制系统-移动机器人运动学模型

作者：姚博文 · 2026-09-15

移动机器人运动学模型

定位: 差速(单轮模型)/阿克曼(自行车模型)/麦轮三类底盘的运动学方程与逆解、里程计积分方法、运动学与动力学的分界、雅可比矩阵与逆运动学(机械臂)入门 | 适用: 智能小车/移动机器人开发

**给非专业读者的一段话**: 运动学（kinematics）回答的是"车怎么动"的**几何**问题，和力气、惯性无关。导航软件喊"前进 0.5 米/秒、同时左转 0.3 弧度/秒"，运动学把它翻译成"左轮转多快、右轮转多快"；反过来，轮子编码器说"左轮走了 3 圈、右轮走了 3.2 圈"，运动学把它翻译成"车在地图上往哪挪了"。这套翻译规则就是本文的主角——几行公式，却是里程计、轨迹跟踪、路径跟踪控制器共同的地基。同一套数学工具换个对象就是机械臂的雅可比（Jacobian）与逆运动学（inverse kinematics）：给定点腕部想动多快，算出每个关节该动多快。

1\. 概述

1.1 解决什么问题

运动学模型在系统里承担三个角色：

1. **指令映射（逆运动学, inverse kinematics）**：规划器输出车体速度 $(v, \omega)$（差速）或 $(v, \delta)$（阿克曼）或 $(v_x, v_y, \omega)$（麦轮），运动学逆解出各轮速度，才能下发给电机。这是 `cmd_vel` 到电机 PWM 之间的必经一步。

2. **里程计积分（正运动学）**：轮编码器读数 → 车体位姿 $(x, y, \theta)$ 的递推。积分方法选错（欧拉法步长过大），转弯轨迹会系统性内偏（2.3.3 节定量分析）。

3. **几何边界约束**：最小转弯半径、原地旋转能力、转向角限幅——路径规划器（DWA/TEB）判断"这条路我能不能走"时用的就是这些数。

在自主导航链路（全链路图见 `00-路线图/学习路线图.md`）中的位置：

💡 运动学模型是**模型无关层的公约数**：PID 的速度环不关心它，但 PID 环外把 $(v,\omega)$ 拆成左右轮速、Nav2 的 footprint 与运动学假设、AMCL 的里程计运动模型，全都读同一份 $R$（轮半径）与 $L$（轴距）。这份文档把"数从哪来"说清楚。

1.2 本文覆盖范围

| 模型 | 控制输入 | 章节 | 对应硬件 |

| --- | --- | --- | --- |

| 单轮模型 (Unicycle) / 差速 | $(v, \omega)$ | 2.2 / 2.3 | 两轮差速、滑移转向小车（本文主线） |

| 自行车模型 (Bicycle, 阿克曼) | $(v, \delta)$ | 2.4 | 前/后轮转向小车、AGV、汽车 |

| 麦轮 (Mecanum) 全向 | $(v_x, v_y, \omega)$ | 2.5 | 四轮麦轮/全向轮平台 |

| 运动学 vs 动力学 | — | 2.6 | 模型选用判断 |

| 雅可比与逆运动学入门 | 关节速度 $\dot\theta$ | 2.7 | 机械臂（2R/3R 平面臂） |

1.3 验收指标（对应路线图里程碑 A1 / B4）

| 指标 | 目标值 | 测量方法 |

| --- | --- | --- |

| 手推差速/自行车模型方程 | 闭卷写出正解+逆解 | 口述 + 白板 |

| 里程计积分精度 | 直线 10m 距离误差 <5%；转 360° 航向回差 <5°（含 IMU 融合） | 卷尺 / IMU 航向 |

| 原地转向精度 | 原地转 90° 误差 <5° | IMU 航向（对应 B4） |

| 2R 臂逆解 | 给定可达目标点，关节角反算残差 <1e-6 m | 本文 2.7 代码 |

💡 A1 的检验就是"能手推差速运动学方程"——2.3 节的推导只有 6 行，务必手推一遍再进仿真。

2\. 基本原理

2.1 坐标系约定（全文统一）

与 `01-基础概念/坐标系与变换.md` 一致，全文采用：

· **世界系 (map/world)**：右手系，固定于地面。

· **车体系 (bo