01-基础概念-坐标系与变换

作者：姚博文 · 2026-09-15

坐标系与变换

定位：建立"位姿的通用语言"——坐标系、刚体变换、姿态表示与 ROS2 TF2，是整条自主导航链路所有模块共同的地基 | 适用：智能小车/移动机器人开发

1\. 概述

1.1 这篇文档解决什么问题

先给一段外行也能懂的话：**机器人必须随时在"我怎么动的"和"我在世界的哪里"之间做翻译**。里程计说"我往前走了 1 米、左转了 90°"，激光雷达说"我前方 3 米有堵墙"，地图说"那堵墙在 (5, 3)"——这些数字各说各话，分属不同的坐标系。如果不先定义一套统一的坐标系（frame）和坐标系之间的变换规则，这些数字就拼不到一起，"自主导航"就只是一堆无法互相引用的数字。这篇文档就是来定义这套语言的。

具体回答以下问题：

· 坐标系（frame）和数学里的"坐标系"有什么区别？什么是右手系？

· 两个坐标系之间"旋转 + 平移"的关系怎么用一个矩阵表达？（刚体变换、齐次变换矩阵）

· 多个坐标系串联时，变换怎么复合？乘法顺序为什么不能错？

· 为什么三个角度（欧拉角）不够用、万向节死锁（gimbal lock）发生在哪、四元数（quaternion）解决了什么？

· ROS2 TF2 里的 map / odom / base\_link 三坐标系各是什么、谁发布、为什么必须拆成三段？

· 差速小车的 base\_link 系哪根轴朝前？yaw（航向角）正方向是什么？

· 左手/右手系、rad/deg、yaw 正方向混用时，怎么快速定位问题？

1.2 在自主导航链路中的位置

链路中每个模块都在**生产或消费位姿（pose = 位置 + 姿态）**。位姿离开坐标系就没有意义："x = 1.7 m" 必须说清"在哪个坐标系下"。ROS2 的 TF2 系统管理的就是"每个位姿属于哪个坐标系、怎么互相换算"。所以本篇是 04-传感器（里程计/IMU）、06-定位、07-导航的数学前置，放在 01-基础概念最前面。

关联文档：

· [移动机器人与自主导航总览](./%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E6%9C%BA%E5%99%A8%E4%BA%BA%E4%B8%8E%E8%87%AA%E4%B8%BB%E5%AF%BC%E8%88%AA%E6%80%BB%E8%A7%88.md)：各模块在全链路中的位置与频率

· `../05-控制系统/移动机器人运动学模型.md`：差速运动学，直接消费本文的 (x, y, θ) 约定

· `../labs/diff_drive_sim.py`：可运行的运动学仿真，已按本文约定实现（x 前、y 左、θ 逆时针为正）

1.3 核心概念速查

| 术语（英文） | 一句话定义 | 例子 |

| --- | --- | --- |

| 坐标系/坐标帧 (frame) | 空间中的一个点（原点）+ 一组右手系轴（朝向）+ 一个名字 | map、base_link、laser |

| 坐标系（数学） (coordinate system) | 纯数学结构：原点 + 基，没有名字和物理含义 | 笛卡尔坐标系、极坐标 |

| 位姿 (pose) | 一个坐标系相对另一个坐标系的位置 + 姿态 | "车在 map 系 (1.7, 1.7)，朝向 135°" |

| 刚体变换 (rigid transform) | 旋转 + 平移的组合，把一个坐标系的点映射到另一个 | 4×4 齐次变换矩阵 |

| 齐次变换矩阵 (homogeneous transform) | 把旋转 R 与平移 p 嵌入一个 4×4 矩阵，使复合变成矩阵乘法 | $T = \begin{bmatrix} R & p \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ |

| 姿态 (orientation) | 位姿中"朝向"的部分（不含位置） | 旋转矩阵 / 欧拉角 / 四元数 |

| TF 树 (transform tree) | ROS 中所有坐标系构成的树，每条边是一次带时间戳的变换 | base_link → laser、odom → base_link |

| 基准连杆 (base link) | 机器人本体坐标系，所有机上传感器的"家长" |