莱布尼茨公式

作者：姚博文 · 2026-08-11

莱布尼茨公式（Leibniz formula）用于计算两个函数乘积的高阶导数，是乘积法则的推广形式。

设函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 均具有 $n$ 阶导数，则它们的乘积的 $n$ 阶导数为：

(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

其中 $\binom{n}{k}$ 为二项式系数，$u^{(k)}$ 表示 $u$ 的 $k$ 阶导数，$v^{(n-k)}$ 表示 $v$ 的 $n-k$ 阶导数。

莱布尼茨公式在结构上与二项式定理高度相似：

(u+v)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^k v^{n-k}

区别仅在于：二项式定理中是幂运算，而莱布尼茨公式中是求导运算。

求 $y = x^2 e^x$ 的三阶导数。

令 $u = x^2$，$v = e^x$，则：

· $u' = 2x$，$u'' = 2$，$u''' = 0$

· $v' = v'' = v''' = e^x$

代入莱布尼茨公式：

y^{(3)} = \binom{3}{0} u^{(3)}v + \binom{3}{1} u''v' + \binom{3}{2} u'v'' + \binom{3}{3} uv^{(3)}

= 0 + 3 \cdot 2 \cdot e^x + 3 \cdot 2x \cdot e^x + 1 \cdot x^2 \cdot e^x

= (x^2 + 6x + 6)e^x

**例题 1**：求 $y = x \sin x$ 的二阶导数。

令 $u = x$，$v = \sin x$，则：

· $u' = 1$，$u'' = 0$

· $v' = \cos x$，$v'' = -\sin x$

代入莱布尼茨公式（$n=2$）：

y^{(2)} = \binom{2}{0} u^{(2)}v + \binom{2}{1} u'v' + \binom{2}{2} uv^{(2)}

= 0 + 2 \cdot 1 \cdot \cos x + 1 \cdot x \cdot (-\sin x)

= 2\cos x - x\sin x

**例题 2**：求 $y = e^x \cos x$ 的三阶导数。

令 $u = e^x$，$v = \cos x$，则：

· $u' = u'' = u''' = e^x$

· $v' = -\sin x$，$v'' = -\cos x$，$v''' = \sin x$

代入莱布尼茨公式（$n=3$）：

y^{(3)} = \binom{3}{0} u^{(3)}v + \binom{3}{1} u''v' + \binom{3}{2} u'v'' + \binom{3}{3} uv^{(3)}

= 1 \cdot e^x \cdot \cos x + 3 \cdot e^x \cdot (-\sin x) + 3 \cdot e^x \cdot (-\cos x) + 1 \cdot e^x \cdot \sin x

= e^x(\cos x - 3\sin x - 3\cos x + \sin x) = e^x(-2\cos x - 2\sin x) = -2e^x(\cos x + \sin x)

**例题 3**：求 $y = x^3 \ln x$ 的四阶导数。

令 $u = x^3$，$v = \ln x$，则：

· $u' = 3x^2$，$u'' = 6x$，$u''' = 6$，$u^{(4)} = 0$

· $v' = \frac{1}{x}$，$v'' = -\frac{1}{x^2}$，$v''' = \frac{2}{x^3}$，$v^{(4)} = -\frac{6}{x^4}$

代入莱布尼茨公式（$n=4$）：

y^{(4)} = \binom{4}{0} u^{(4)}v + \binom{4}{1} u'''v' + \binom{4}{2} u''v'' + \binom{4}{3} u'v''' + \binom{4}{4} uv^{(4)}

= 0 + 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot 6x \cdot \left(-\frac{1}