线性代数核心笔记

作者：姚博文 · 2026-08-15

线性代数核心笔记

1\. 矩阵

1.1 基本概念

$m \times n$ 矩阵是排成 $m$ 行 $n$ 列的数表，记作 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。$m=n$ 时称为**方阵**。

常见特殊矩阵：

| 名称 | 定义 |

| --- | --- |

| 零矩阵 | 所有元素为 $0$ |

| 单位矩阵 $E$（或 $I$） | 主对角线全为 $1$，其余为 $0$ |

| 对角矩阵 | 非主对角线元素全为 $0$ |

| 上三角矩阵 | 主对角线以下全为 $0$ |

| 对称矩阵 | $A^{\mathrm T}=A$ |

| 反对称矩阵 | $A^{\mathrm T}=-A$ |

1.2 运算

· 加法、数乘：逐元素进行。

· 乘法：$A_{m\times n}B_{n\times p}$ 有意义，$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$。注意**矩阵乘法不满足交换律**（$AB\neq BA$），但满足结合律与分配律。

· 转置：$(A^{\mathrm T})^{\mathrm T}=A$，$(AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}$。

· 迹：方阵主对角线元素之和 $\mathrm{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$。

1.3 逆矩阵

方阵 $A$ 可逆   $\iff |A|\neq 0$。逆矩阵 $A^{-1}$ 满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$。

性质：

· $(A^{-1})^{-1}=A$

· $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

· $(A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T}$

· $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$

求逆方法：伴随矩阵法 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$，或初等行变换法 $(A\mid E)\to(E\mid A^{-1})$。

线性代数核心笔记

1. 矩阵

1.1 基本概念

$m \times n$ 矩阵是排成 $m$ 行 $n$ 列的数表，记作 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。$m=n$ 时称为**方阵**。

常见特殊矩阵：

| 名称 | 定义 |

| --- | --- |

| 零矩阵 | 所有元素为 $0$ |

| 单位矩阵 $E$（或 $I$） | 主对角线全为 $1$，其余为 $0$ |

| 对角矩阵 | 非主对角线元素全为 $0$ |

| 上三角矩阵 | 主对角线以下全为 $0$ |

| 对称矩阵 | $A^{\mathrm T}=A$ |

| 反对称矩阵 | $A^{\mathrm T}=-A$ |

1.2 运算

· 加法、数乘：逐元素进行。

· 乘法：$A_{m\times n}B_{n\times p}$ 有意义，$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$。注意**矩阵乘法不满足交换律**（$AB\neq BA$），但满足结合律与分配律。

· 转置：$(A^{\mathrm T})^{\mathrm T}=A$，$(AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}$。

· 迹：方阵主对角线元素之和 $\mathrm{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$。

1.3 逆矩阵

方阵 $A$ 可逆 $\iff |A|\neq 0$。逆矩阵 $A^{-1}$ 满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$。

性质：

· $(A^{-1})^{-1}=A$

· $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

· $(A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T}$

· $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$

求逆方法：伴随矩阵法 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$，或初等行变换法 $(A\mid E)\to(E\mid A^{-1})$。

2. 行列式

2.1 性质

· 行列式转置值不变：$|A^{\mathrm T}|=|A|$。

· 交换两行（列），行列式变号。

· 某行（列）有公因子 $k$，可提出 $k$。

· 某行（列）乘以 $k$ 加到另一行（列），行列式不变。

· $|AB|=|A||B|$；$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}$；$|kA|=k^n|A|$（$A$ 为 $n$ 阶方阵）。