第四章 一元函数微分学

作者：许毓航 · 2026-05-16

第四章 一元函数微分学

1、导数的定义

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

2、基本求导公式

（1）$(C)' = 0$

（2）$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$

（3）$(a^x)' = a^x \ln a$，特别地 $(e^x)' = e^x$

（4）$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$，特别地 $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

（5）$(\sin x)' = \cos x$

（6）$(\cos x)' = -\sin x$

（7）$(\tan x)' = \sec^2 x$

（8）$(\cot x)' = -\csc^2 x$

（9）$(\sec x)' = \sec x \tan x$

（10）$(\csc x)' = -\csc x \cot x$

（11）$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

（12）$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

（13）$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

（14）$(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

3、求导法则

（1）四则运算

$$(u \pm v)' = u' \pm v'$$

$$(uv)' = u'v + uv'$$

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$$

（2）复合函数求导（链式法则）

若 $y = f(u), u = g(x)$，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$

（3）反函数求导

若 $y = f(x)$ 的反函数为 $x = \varphi(y)$，则

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{或} \quad \varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$

（4）隐函数求导

对方程 $F(x, y) = 0$ 两边同时对 $x$ 求导，解出 $y'$

（5）对数求导法

$$y = u^v \implies \ln y = v \ln u \implies \frac{y'}{y} = v' \ln u + v \cdot \frac{u'}{u}$$

4、高阶导数

（1）定义

$$f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n} = [f^{(n-1)}(x)]'$$

（2）莱布尼茨公式

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$$

5、微分

（1）定义

$$dy = f'(x) dx$$

（2）近似计算

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$$

6、含参变量函数的导数

参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$