第十章 向量代数与空间解析几何（数一）

作者：许毓航 · 2026-05-16

第十章 向量代数与空间解析几何（数一）

1、向量的基本运算

（1）向量的模

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

（2）单位向量

$\vec{a}^\circ = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

（3）向量的方向余弦

$\cos\alpha = \dfrac{a_x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \dfrac{a_y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \dfrac{a_z}{|\vec{a}|}$

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

2、向量的数量积（点积）

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

3、向量的向量积（叉积）

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$（等于以 $\vec{a}, \vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积）

4、向量的混合积

$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

等于以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为棱的平行六面体的体积

5、平面方程

（1）一般式方程

$Ax + By + Cz + D = 0$，法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$

（2）点法式方程

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

（3）截距式方程

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

6、空间直线方程

（1）一般式方程

$$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$$

方向向量 $\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$

（2）对称式方程（点向式）

$$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$$

（3）参数式方程

$$\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$$

7、空间曲面

（1）旋转曲面

曲线 $\begin{cases} f(y, z) = 0 \\ x = 0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转：$f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z) = 0$

（2）柱面

母线平行于 $z$ 轴的柱面方程不显含 $z$：$F(x, y) = 0$

（3）二次曲面

· **椭球面**：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

· **单叶双曲面**：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

· **双叶双曲面**：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

· **椭圆抛物面**：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = z$

· **双曲抛物面（马鞍面）**：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = z$

· **二次锥面**：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} =