第十二章 二重积分

作者：许毓航 · 2026-05-16

第十二章 二重积分

1、二重积分的定义

$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$$

其中 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值。

2、二重积分的性质

基本性质与定积分类似：

· 线性性质

· 对积分区域的可加性

· 若 $f(x, y) \geq 0$，则 $\iint_D f(x, y)\,d\sigma \geq 0$

· 估值定理

· 积分中值定理

3、二重积分的计算

（1）直角坐标下的计算

X 型区域 $D = \{(x, y) \mid a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$

$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\,dy$$

Y 型区域 $D = \{(x, y) \mid c \leq y \leq d, \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)\}$

$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)\,dx$$

（2）极坐标下的计算

令 $x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta$，则 $d\sigma = \rho\,d\rho\,d\theta$

$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta$$

**适用情形**：

· 积分区域为圆域、圆环域或扇形域

· 被积函数形如 $f(x^2 + y^2)$ 或 $f(\frac{y}{x})$

（3）对称性

**奇偶对称性**：

· 若 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f(x, y)$ 关于 $x$ 为奇函数，则积分为 0

· 若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $f(x, y)$ 关于 $y$ 为奇函数，则积分为 0

**轮换对称性**：

若 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，则

$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \iint_D f(y, x)\,d\sigma$$

4、交换积分次序

若积分区域可以同时表示为 X 型和 Y 型，则可以交换积分次序：

$$\int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\,dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)\,dx$$

5、二重积分的应用

（1）曲顶柱体的体积

$$V = \iint_D f(x, y)\,d\sigma$$

（2）曲面的面积

$$S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy$$

（3）平面薄片的质量、质心

质量 $M = \iint_D \rho(x, y)\,d\sigma$

质心坐标：

$$\bar{x} = \frac{\iint_D x\rho(x, y)\,d\sigma}{\iint_D \rho(x, y)\,d\sigma}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y\rho(x, y)\,d\sigma}{\iint_D \rho(x, y)\,d\sigma}$$