第十三章 多元函数积分学（数一）

作者：许毓航 · 2026-05-16

第十三章 多元函数积分学（数一）

1、三重积分

（1）直角坐标下的计算

投影法（先一后二）

$$\iiint_\Omega f(x, y, z)\,dv = \iint_D \left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x, y, z)\,dz\right] dxdy$$

截面法（先二后一）

$$\iiint_\Omega f(x, y, z)\,dv = \int_{c}^{d} \left[\iint_{D_z} f(x, y, z)\,dxdy\right] dz$$

（2）柱坐标下的计算

令 $x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta, z = z$，则 $dv = \rho\,d\rho\,d\theta\,dz$

$$\iiint_\Omega f(x, y, z)\,dv = \iiint_\Omega f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z)\,\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$$

（3）球坐标下的计算

令 $x = r\sin\varphi\cos\theta, y = r\sin\varphi\sin\theta, z = r\cos\varphi$，则 $dv = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$

适用于积分区域为球体或锥体等。

2、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

（1）定义与计算

$$\int_L f(x, y)\,ds = \int_\alpha^\beta f[x(t), y(t)]\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}\,dt$$

（2）对弧长的空间曲线积分

$$\int_\Gamma f(x, y, z)\,ds = \int_\alpha^\beta f[x(t), y(t), z(t)]\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}\,dt$$

3、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

（1）定义

$$\int_L P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy$$

（2）计算

$$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta \big[P(x(t), y(t))\,x'(t) + Q(x(t), y(t))\,y'(t)\big]\,dt$$

（3）格林公式

$$\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$

其中 $L$ 为 $D$ 的正向边界。

（4）积分与路径无关的条件

$\displaystyle\int_L P\,dx + Q\,dy$ 与路径无关 $\iff \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$（在单连通域内）

此时存在 $u(x, y)$ 使得 $du = P\,dx + Q\,dy$

（5）全微分方程

$P\,dx + Q\,dy = 0$ 为全微分方程 $\iff \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$

通解为 $u(x, y) = C$

4、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

$$\iint_\Sigma f(x, y, z)\,dS = \iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy$$

5、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

（1）定义

$$\iint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy$$

（2）高斯公式（散度定理）

$$\oiint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dxdydz$$

其中 $\Sigma$ 为 $\Omega$ 的封闭外表面。

（3）斯托克斯公式

$$