第十一章 多元函数微分学

作者：许毓航 · 2026-05-16

第十一章 多元函数微分学

1、偏导数的定义

$$f_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

$$f_y(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$$

2、全微分

若 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

可微、偏导数、连续之间的关系

· 可微 $\implies$ 连续（但反之不成立）

· 可微 $\implies$ 偏导数存在（但反之不成立）

· 偏导数连续 $\implies$ 可微（充分条件）

3、多元复合函数求导（链式法则）

若 $z = f(u, v)$，而 $u = u(x, y), v = v(x, y)$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

4、隐函数求导

（1）一元隐函数

若方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y = y(x)$，则

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

（2）二元隐函数

若方程 $F(x, y, z) = 0$ 确定 $z = z(x, y)$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

5、偏导数的几何应用

空间曲线的切线

曲线 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ 在 $t_0$ 处的切线方向向量：$\vec{s} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$

空间曲面的切平面

曲面 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $P_0$ 处的法向量：$\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)\big|_{P_0}$

6、方向导数和梯度

（1）方向导数

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma$$

（2）梯度

$$\text{grad } f = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

方向导数与梯度的关系：$\dfrac{\partial f}{\partial \vec{l}} = \nabla f \cdot \vec{l}^\circ$

梯度的方向是函数在该点方向导数取得最大值的方向。

7、多元函数的极值

（1）极值存在的必要条件

若 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处取得极值且偏导数存在，则

$$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$$

（2）极值存在的充分条件

驻点处，记 $A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}$，判别式 $AC - B^2$：

· $AC - B^2 \gt 0$ 且 $A \g