第六章 导数的应用

作者：许毓航 · 2026-05-16

第六章 导数的应用

1、函数单调性

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导：

· 若 $f'(x) \gt 0$，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递增

· 若 $f'(x) \lt 0$，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递减

2、函数的极值

（1）极值存在的必要条件

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$

使 $f'(x) = 0$ 的点称为**驻点**。

（2）极值的第一充分条件

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内可导且 $f'(x_0) = 0$：

· 若 $x \lt x_0$ 时 $f'(x) \gt 0$，$x \gt x_0$ 时 $f'(x) \lt 0$，则 $f(x_0)$ 为极大值

· 若 $x \lt x_0$ 时 $f'(x) \lt 0$，$x \gt x_0$ 时 $f'(x) \gt 0$，则 $f(x_0)$ 为极小值

（3）极值的第二充分条件

若 $f''(x_0)$ 存在：

· $f''(x_0) \lt 0 \implies f(x_0)$ 为极大值

· $f''(x_0) \gt 0 \implies f(x_0)$ 为极小值

3、曲线的凹凸性

· 若 $f''(x) \gt 0$，曲线向上凹（下凸）

· 若 $f''(x) \lt 0$，曲线向下凹（上凸）

**拐点**：$f''(x)$ 在其两侧变号的点

4、函数的最大值与最小值

求解步骤：

1. 求 $f'(x)$，找出驻点和使 $f'(x)$ 不存在的点

2. 计算这些点及区间端点的函数值

3. 比较得出最大值和最小值

5、曲率

曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率：

$$K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}$$

6、渐近线

（1）水平渐近线

若 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = A$，则 $y = A$ 为水平渐近线

（2）垂直渐近线

若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则 $x = x_0$ 为垂直渐近线

（3）斜渐近线

若 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$，$\displaystyle\lim_{x \to \infty}[f(x) - kx] = b$，则 $y = kx + b$ 为斜渐近线