第八章 定积分
作者：许毓航 · 2026-05-16
第八章 定积分
1、定积分的定义
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$
其中 $\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\}$
2、定积分的性质
（1）$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$
（2）$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$
（3）$\displaystyle\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$
（4）$\displaystyle\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$
（5）$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$
（6）若 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$
（7）若 $f(x) \leq g(x)$，则 $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$
（8）$\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$
（9）估值定理：若 $m \leq f(x) \leq M$，则
$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$$
（10）积分中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得
$$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)$$
3、微积分基本定理
（1）变上限积分函数
$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$
$\Phi(x)$ 连续。若 $f(x)$ 连续，则 $\Phi'(x) = f(x)$。
更一般地：
$$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f[b(x)] \cdot b'(x) - f[a(x)] \cdot a'(x)$$
（2）牛顿-莱布尼茨公式（N-L 公式）
若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，则
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$$
4、定积分的换元积分法
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt$$
其中 $x = \varphi(t)$，$\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$
5、定积分的分部积分法
$$\int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$$
6、重要结论
（1）对称区间上奇偶函数的积分
· 若 $f(x)$ 为奇函数：$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$
· 若 $f(x)$ 为偶函数：$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
（2）周期函数的积分
若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $\displaystyle\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$
（3）华里士（Wallis）公式
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx = \begin{cases} \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-3}{n-2} \cdots \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2}, & n \text{为偶数} \\ \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-3}{n-2} \cdots \dfrac{2}{3}, & n \text{为奇数} \end{cases}$$