第五章 中值定理

作者：许毓航 · 2026-05-16

第五章 中值定理

1、罗尔（Rolle）定理

若 $f(x)$ 满足：

（1）在 $[a, b]$ 上连续

（2）在 $(a, b)$ 内可导

（3）$f(a) = f(b)$

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$

2、拉格朗日中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

**有限增量公式**：$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

3、柯西中值定理

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

4、泰勒定理（Taylor）

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$

其中拉格朗日型余项：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$

$\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间。

当 $x_0 = 0$ 时，即麦克劳林公式：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$