第二章 极限

作者：许毓航 · 2026-05-16

第二章 极限

1、极限存在的充要条件

（1）数列极限存在的充要条件

$$\lim_{n \to \infty} x_n = A \iff \lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = A$$

（2）函数极限存在的充要条件

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$$

2、极限的运算法则

若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

（1）$\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

（2）$\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

（3）$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）

3、两个重要极限

（1）$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

（2）$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，或 $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

4、极限的重要性质

（1）唯一性

若 $\lim f(x) = A$，$\lim f(x) = B$，则 $A = B$

（2）有界性（局部有界性）

若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界

（3）保号性

若 $\lim f(x) = A \gt 0$，则在某邻域内 $f(x) \gt 0$

（4）夹逼定理

若 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$，则 $\lim f(x) = A$

（5）单调有界定理

单调有界数列必有极限

5、等价无穷小（$x \to 0$）

（1）$\sin x \sim x$

（2）$\tan x \sim x$

（3）$\arcsin x \sim x$

（4）$\arctan x \sim x$

（5）$\ln(1 + x) \sim x$

（6）$e^x - 1 \sim x$

（7）$1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$

（8）$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

6、无穷小的比较

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是在同一自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$：

（1）若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$

（2）若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小

（3）若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小

（4）若 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0 (k \gt 0)$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小

（5）若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$

7、极限和无穷小的关系

$$\lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)$$

其中 $\lim \alpha(x) = 0$

8、洛必达法则

若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且 $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

9、常用极限

（1）$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

（2）$\d