第九章 微分方程

作者：许毓航 · 2026-05-16

第九章 微分方程

1、基本概念

微分方程的阶

方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

通解与特解

· **通解**：含有独立任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数

· **特解**：确定了通解中任意常数后得到的解

2、一阶微分方程

（1）可分离变量方程

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

解法：$\displaystyle\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

（2）齐次方程

$$\frac{dy}{dx} = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$$

解法：令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = xu$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

（3）一阶线性微分方程

$$y' + P(x)y = Q(x)$$

**通解公式**：

$$y = e^{-\int P(x)\,dx} \left[\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right]$$

（4）伯努利方程

$$y' + P(x)y = Q(x)y^\alpha \quad (\alpha \neq 0, 1)$$

解法：令 $z = y^{1-\alpha}$，化为一阶线性方程

3、可降阶的高阶微分方程

（1）$y^{(n)} = f(x)$ 型

逐次积分即可

（2）$y'' = f(x, y')$ 型（不含 $y$）

令 $y' = p$，则 $y'' = \frac{dp}{dx}$

（3）$y'' = f(y, y')$ 型（不含 $x$）

令 $y' = p$，则 $y'' = p\frac{dp}{dy}$

4、二阶线性微分方程解的结构

（1）齐次方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$

若 $y_1, y_2$ 是两线性无关的解，则通解为 $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$

（2）非齐次方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$

通解 = 齐次通解 $Y$ + 非齐次特解 $y^*$

5、常系数齐次线性微分方程

$$y'' + py' + qy = 0$$

特征方程：$r^2 + pr + q = 0$

· $\Delta \gt 0$（两不等实根 $r_1, r_2$）：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

· $\Delta = 0$（重根 $r$）：$y = (C_1 + C_2 x)e^{r x}$

· $\Delta \lt 0$（共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$）：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

6、常系数非齐次线性微分方程

$$y'' + py' + qy = f(x)$$

$f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$ 型

设特解 $y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}$

其中 $k$ 为 $\lambda$ 作为特征方程根的重数（不是特征根时 $k=0$）

$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + Q_n(x)\sin \omega x]$ 型

设特解 $y^* = x^k e^{\lambda x}[R_m(x)\cos \omega x + S_m(x)\sin \omega x]$

其中 $m = \max\{l, n\}$，$k$ 取决于 $\lambda + i\omega$ 是否为特征根