第三章 连续性与间断点

作者：许毓航 · 2026-05-16

第三章 连续性与间断点

1、连续的定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\iff \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

即：

（1）$f(x_0)$ 有定义

（2）$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在

（3）$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，是指 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内每一点都连续，且在 $x = a$ 处右连续、在 $x = b$ 处左连续。

2、间断点的分类

第一类间断点（左右极限都存在）

· **可去间断点**：$\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)$

· **跳跃间断点**：$\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$

第二类间断点（至少一侧极限不存在）

· **无穷间断点**：至少一侧极限为 $\infty$

· **振荡间断点**：极限振荡不存在，如 $y = \sin\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处

3、连续函数的性质

（1）最值定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值。

（2）介值定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意值 $C$，必存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = C$。

（3）零点定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) \lt 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

4、初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。