第三章 三角函数

作者：姚博文 · 2026-08-09

第三章 三角函数

1、同角三角函数

（1）$\sin\alpha \csc\alpha = 1$

（2）$\cos\alpha \sec\alpha = 1$

（3）$\tan\alpha \cot\alpha = 1$

（4）$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

（5）$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

（6）$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$

（7）$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

（8）$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

2、二倍角公式

（1）$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha$

（2）$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

（3）$\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

（4）$\cot 2\alpha = \dfrac{\cot^2\alpha - 1}{2\cot\alpha}$

（5）$\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

（6）$\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

3、半角公式

（1）$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

（2）$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

（3）$\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

（4）$\cot\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}$

4、和角与差角公式

（1）$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$

（2）$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

（3）$\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$

5、积化和差公式

（1）$\sin\alpha \cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$

（2）$\cos\alpha \sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]$

（3）$\cos\alpha \cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$

（4）$\sin\alpha \sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$

6、和差化积公式

（1）$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

（2）$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

（3）$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta