第七章 不定积分

作者：许毓航 · 2026-05-16

第七章 不定积分

1、基本概念

若 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。

$f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作：

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

2、基本积分公式

（1）$\displaystyle\int k\,dx = kx + C$

（2）$\displaystyle\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)$

（3）$\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

（4）$\displaystyle\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，特别地 $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$

（5）$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

（6）$\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$

（7）$\displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$

（8）$\displaystyle\int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C$

（9）$\displaystyle\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

（10）$\displaystyle\int \csc x\,dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

（11）$\displaystyle\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

（12）$\displaystyle\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$

（13）$\displaystyle\int \sec x \tan x\,dx = \sec x + C$

（14）$\displaystyle\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C$

（15）$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$

（16）$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$

（17）$\displaystyle\int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

（18）$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$

（19）$\displaystyle\int \frac{1}{x^2-a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$

（20）$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}\,dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C$

3、积分方法

（1）第一类换元法（凑微分法）

$$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u = \varphi(x))$$

（2）第二类换元法

$$\int f(x)\,dx = \int f[\psi(t)]\psi'(t)\,dt \quad (x = \psi(t))$$

常见变换：

· $\sqrt{a^2 - x^2}$：令 $x = a\sin t$

· $\sqrt{a^2 + x^2}$：令 $x = a\tan t$

· $\sqrt{x^2 - a^2}$：令 $x = a\sec t$

（3）分部积分法

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

口诀："反对幂指三"（按此顺序选 $u$）

4、有理函数的积分——部分分式法

将有理真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 分解为部分分式之和，然后逐项积分。