第一章 初等函数

作者：许毓航 · 2026-05-16

第一章 初等函数

1、基本初等函数

（1）常数函数

$y = c$（$c$ 为常数），定义域为 $\mathbf{R}$

（2）幂函数

$y = x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）

（3）指数函数

$y = a^x$（$a \gt 0, a \neq 1$），定义域为 $\mathbf{R}$，值域为 $(0, +\infty)$

（4）对数函数

$y = \log_a x$（$a \gt 0, a \neq 1$），定义域为 $(0, +\infty)$

（5）三角函数

· $y = \sin x$，定义域 $\mathbf{R}$，值域 $[-1, 1]$，周期 $T = 2\pi$

· $y = \cos x$，定义域 $\mathbf{R}$，值域 $[-1, 1]$，周期 $T = 2\pi$

· $y = \tan x$，定义域 $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$，周期 $T = \pi$

· $y = \cot x$，定义域 $x \neq k\pi$，周期 $T = \pi$

（6）反三角函数

· $y = \arcsin x$，定义域 $[-1, 1]$，值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

· $y = \arccos x$，定义域 $[-1, 1]$，值域 $[0, \pi]$

· $y = \arctan x$，定义域 $\mathbf{R}$，值域 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

2、函数的性质

（1）有界性

若存在 $M \gt 0$，使得 $|f(x)| \leq M$，则称 $f(x)$ 有界。

（2）单调性

若 $x_1 \lt x_2$ 时 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则 $f(x)$ 单调递增；

若 $x_1 \lt x_2$ 时 $f(x_1) \geq f(x_2)$，则 $f(x)$ 单调递减。

（3）奇偶性

奇函数：$f(-x) = -f(x)$，关于原点对称

偶函数：$f(-x) = f(x)$，关于 $y$ 轴对称

（4）周期性

若存在 $T \gt 0$，使得 $f(x + T) = f(x)$，则 $f(x)$ 以 $T$ 为周期。